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WikiSysop — Thu, 02 Jun 2011 09:48:58 GMT

‎Protocole

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[[Catégorie:Physique]][[Catégorie:Ondes sonores]]{{Réalisation facile}}
Dans l'expérience [[des tiges qui sifflent]], on montre que l'on peut créer des ondes longitudinales dans une barre d'aluminium à l'aide de frottements le long de la tige, et produire un son pur.

D'après la relation entre la fréquence f de l'onde, sa longueur d'onde λ et la vitesse de l'onde dans la tige d'aluminium vAl
:f.λ = vAl

il est possible de faire des notes de fréquence précise en choisissant la longueur des tiges. On peut ainsi fabriquer un instrument de musique.

==Matériel==
* Des tiges d'aluminium de même diamètre, que l'on peut acheter dans n'importe quelle grande surface de bricolage
* Scie a métaux et lime plate
* Oscilloscope ou ordinateur équipé d'un microphone et d'un logiciel d'analyse du son
* Mètre précis
* Calculatrice

==Préalables sur les gammes musicales==
Une gamme musicale est déterminée par les écarts de fréquence entre les notes qui composent la gamme. Il existe un grand nombre de gammes, selon leur origine culturelle.

La gamme utilisée dans la musique occidentale classique (et même moderne) est basée sur la ''gamme tempérée'' (ou ''tempérament égal'')<ref>Wikipédia - Gamme tempérée : http://fr.wikipedia.org/wiki/Gamme_tempérée</ref> inventée par Jean-Sébastien Bach<ref>Wikipédia - Johann Sebastian Bach : http://fr.wikipedia.org/wiki/Johann_Sebastian_Bach</ref>. Dans cette gamme il y a 12 notes séparées chacunes d'un demi-ton :
[[Image:Gamme de Bach.gif|center|frame|Gamme tempérée de Bach.]]
La fréquence fa entre une note donnée et la fréquence fa' de la même note à l'octave supérieure sont liées par la relation : fa' = 2 fa.

Comme cette relation doit être valable pour n'importe quelle note (c'est la contrainte imposée par Bach), on en déduit que le rapport de fréquences de 2 notes successives doit être égal à 21/12. Les rapports sont identiques entre n'importe quel couple de notes qui se suivent, d'où le nom de ''gamme tempérée'' ou ''tempérament égal'' pour cette gamme. Cette gamme n'est cependant pas idéale pour certains styles musicaux ou certains instruments car elle peut conduire à des accords légèrement dissonants pour les mélomanes puristes.

Mais pour des raisons de commodité, c'est cette gamme tempérée que nous utiliserons pour la suite, car l'écart entre les notes est facilement calculable.

L'écart étant fixé entre les notes, il faut alors fixer la fréquence d'une note de référence. C'est actuellement la fréquence du La de la 4e octave (noté La4) qui est fixée à 440 Hz. (Voir remarque en dernière section)

==Protocole==
*Les tiges vendues ont souvent une longueur de 1 m. Cependant cette longueur n'est pas toujours très précise. Il convient alors de mesurer précisément cette longueur avec un mètre. Soit L1 la longueur la longueur de la tige n°1, qui aura la note la plus basse, de fréquence f1.
*Devant un microphone relié à un oscilloscope ou un ordinateur équipé d'un logiciel d'analyse du son, faire siffler la tige comme décrit dans l'expériences [[des tiges qui sifflent]]. Relever la fréquence de la note produite. À titre d'exemple : pour L1 = 1 m, on obtient f1 = 2508 Hz.
*Pour calculer la longueur L2 de la tige qui donnera la note suivante, on utilise la relation
:<math>L_1 f_1 = L_2 f_2</math>
ce qui suppose que la vitesse vAl des ondes sonores dans la tige d'aluminium est la même quelle que soit la fréquence de la note. Cette approximation est valable pour les fréquences qui nous intéressent. On en déduit alors :
:<math>L_2 = L_1\frac{f_1}{f_2}</math>
Or, par définition de la gamme tempérée de Bach :
:<math>f_2 = 2^{\frac{1}{12}} f_1</math>
D'où :
:<math>L_2= L_1 \frac{f_1}{2^{\frac{1}{12}} f_1} = L_1 \frac{1}{2^{\frac{1}{12}}} = 0,94387 L_1</math>
De même pour les longueurs des tiges pour les notes suivantes :
:<math>L_3 = L_2 \frac{1}{2^{\frac{1}{12}}} = 0,94387 L_2</math>
:...
:<math>L_{n+1} = L_n \frac{1}{2^{\frac{1}{12}}} = 0,94387 L_n</math>
Pour L1 = 1 m, on obtient alors les longueurs suivantes :
{|align="center" border="1"
!Tige i!!Li (m)!!fi (Hz)
|-
|1||1,000||2508
|-
|2||0,944||2657
|-
|3||0,891||2815
|-
|4||0,841||2983
|-
|5||0,794||3160
|-
|6||0,749||3348
|-
|7||0,707||3547
|-
|8||0,667||3758
|-
|9||0,630||3981
|-
|10||0,595||4218
|-
|11||0,561||4469
|-
|12||0,530||4734
|-
|13||0,500||5016
|-
|...|| ||
|}

Après calcul complet, les longueurs sont arrondies au millimètre et la fréquence au Hz. On retrouve bien que la tige n°13 est de longueur exactement moitié de la tige n°1, car elle joue la note située à l'octave (fréquence double, note située à 12 demi-tons au-dessus). Ceci est d'ailleurs valable pour toutes les notes séparées de 12 demi-tons :
:<math>L_{n+12} = L_n \left(\frac{1}{2^{\frac{1}{12}}}\right)^{12} = L_n \frac{1}{\left(2^{\frac{1}{12}}\right)^{12}} = \frac{1}{2} L_n</math>

*On découpe à l'aide de la scie à métaux les tiges aux longueurs calculées, en prenant soin de bien respecter les longueurs au millimètre près. Les bords de la tige étant tranchant, il est important d'en limer légèrement le tour.
*Nettoyer les tiges avec un essuie-tout imbibé d'eau et sécher.
*Faire siffler les tiges et jouer un morceau sur la gamme obtenue.

==Gamme absolue et gamme relative==
Un peu plus compliqué, pour les musiciens puristes !

*'''Il est important de préciser''' que les notes de la gamme obtenue '''ne correspondent pas''' forcément aux notes (Do, Do#, Ré, etc.) de la gamme d'un piano par exemple. Nous avons découpé les tiges en prenant comme tige de référence la première, qui a une longueur de 1 m. Or la fréquence de 2508 Hz ne correspondant pas exactement à une note réelle. Par contre, '''l'écart''' entre nos notes respecte parfaitement l'écart déterminé par Bach. Notre gamme est donc une gamme ''relative'' et non une gamme ''absolue''.
*Pour obtenir une gamme absolue, en faisant en sorte que la première tige corresponde à un Do (par exemple), il faudrait fixer la longueur L1 telle que f1 corresponde à un vrai Do. Le plus simple consiste alors à prendre le premier Do dont la fréquence est immédiatement supérieure à 2508 Hz. En se fixant comme convention fLa4 = 440 Hz, les fréquences des La aux autres octaves sont :
{|align="center" border="1"
!Octave i!!Lai!!fLai (Hz)
|-
|1||La1||55
|-
|2||La2||110
|-
|3||La3||220
|-
|4||La4||440 (par convention)
|-
|5||La5||880
|-
|6||La6||1760
|-
|7||La7||3520
|-
|8||La8||7040
|-
|9||La9||14080
|}

On voit donc que le premier Do possible au delà de 2508 Hz est le Do8 qui se trouve après le La7. Ce Do8 a pour fréquence calculée : fDo8 = 2960 Hz. La longueur de la tige équivalente est donc : 0,847 m.

{{Refs}}

Les tiges musicales - Historique des versions

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