WikiSysop : /* Les puissances */

WikiSysop — Fri, 21 Sep 2018 13:01:58 GMT

‎Les puissances

WikiSysop le 21 septembre 2018 à 13:00

WikiSysop — Fri, 21 Sep 2018 13:00:07 GMT

WikiSysop : /* Exemples de conversions étape par étape */

WikiSysop — Thu, 28 Sep 2017 21:30:56 GMT

‎Exemples de conversions étape par étape

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[[Catégorie:Physique]][[Catégorie:Chimie]]
Cette page a pour but d'expliquer comment convertir des unités qui comportent des préfixes multiplicatifs et des puissances, pour éviter de se tromper. Le public ciblé est surtout celui des lycéens et étudiants, qui ont du mal à s'y retrouver dans les puissances et facteurs multiplicatifs.

''C. Darrigan''

== Les préfixes multiplicatifs ==

On se rapportera à la page très complète de Wikipédia : [https://fr.wikipedia.org/wiki/Préfixes_du_système_international_d%27unités Préfixes du système international d'unités]

== Les puissances ==
On rappelle que :
* <math>(a \times b)^n = a^n \times b^n</math>
* <math>(a^m)^n = a^{m \times n}</math>
* <math>a^m \times a^n = a^{m+n}</math>
* <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math> ou encore <math>a^{n} = \frac{1}{a^{-n}}</math>

Les puissances agissent aussi bien sur les nombres que sur les préfixes multiplicatifs (que l'on peut remplacer par leur valeur en nombre), que sur les unités.
:Exemple : <math>km^2 = (k \times m)^2 = (1000 \times m)^2 = 1000^2 \times m^2</math>

== Principes pour convertir les unités sans peine ==
* Quand une unité s'exprime avec une fraction, l'écrire sous la forme d'un produit avec des puissances négatives.
::Exemple : au lieu d'écrire <math>J/mol/K</math>, écrire <math>J.mol^{-1}.K^{-1}</math>.
:Ainsi, il n'y aura pas de confusion dans les divisions et multiplications.

* Lorsqu'une '''unité contient un facteur multiplicatif''' et que l'on veut obtenir un résultat avec l'unité '''sans''' facteur multiplicatif, il suffit de séparer les deux '''en faisant agir les éventuelles puissances'''.
:: Exemple : passer de kilomètre-carré à mètre-carré
::<math> km^2 = k^2 \times m^2 = 1000^2 \times m^2 = 1 000 000 \; m^2 </math>

* Lorsqu'une '''unité ne contient pas de facteur multiplicatif''' et que l'on veut obtenir un résultat avec l'unité '''et avec''' facteur multiplicatif, il faut introduire le facteur multiplicatif '''en faisant agir les éventuelles puissances'''.
:: Exemple : passer de mètre-carré à kilomètre-carré
::<math>m^2 = \left( \frac{k}{k}\right) ^2 \times m^2 = \frac{1}{k^2} \times k^2 \times m^2 = \frac{1}{k^2} \times km^2 = \frac{1}{1000^2} \times km^2 = 0,000001 \; km^2</math>

* Attention : quand un symbole change dans l'unité avant et après conversion, il faut connaître la relation permettant le passage.
::Exemple 1 : pour passer de <math>kJ.mol^{-1}</math> (kilo'''joule''' par mole) à <math>kcal.mol^{-1}</math> (kilo'''calorie''' par mole), il faut connaître la relation : <math>1 \; cal = 4,184 \; J</math>.
::Exemple 2 : pour passer de <math>L</math> (litre) à <math>m^3</math> (mètre-cube), il faut se rappeler que : <math>1 \; L = 1 \; dm^3 = 0,001 \; m^3</math>

== Exemples de conversions étape par étape ==

* Convertir <math>2000 \; cm</math> (centimètre) en <math>m</math> (mètre) :
::''Facile tout de même !''
::<math>\begin{align}2\,000 \; cm & = 2\,000 \times 0,01 \; m \\
& = 20 \; m \end{align}</math>

* Convertir <math>3 \; km^2</math> (kilomètre carré) en <math>m^2</math> (mètre carré) :
::''Attention, la puissance 2 s'applique à kilo '''et''' à mètre !''
::<math>\begin{align}3 \; km^2 & = 3 \times (km)^2 \\
& = 3 \times 1000^2 \times m^2 \\
& = 3.10^6 \; m^2\end{align}</math>

* Convertir <math>2450000000 \; Hz</math> en <math>GHz</math>.
::''Se rappeler que giga (G) vaut 10<sup>9</sup>. Cet exemple facile est tout de même détaillé.''
::<math>\begin{align}2 450 000 000 \; Hz & = 2 450 000 000 \; \frac{G}{G} \; Hz \\
& = 2 450 000 000 \; \frac{1}{G} \; GHz \\
& = 2 450 000 000 \; \frac{1}{10^9} \; GHz \\
& = 2 450 000 000 \times 10^{-9} \; GHz \\
& = 2,45 \; GHz\end{align}</math>
::''Ici on peut faire plus simple :''
::<math>2 450 000 000 \; Hz = 2,45 \times 10^9 \; Hz = 2,45 \; GHz</math>

* Convertir <math>1600 \; cm^{-1}</math> (centimètre à la puissance –1) en <math>m^{-1}</math> (mètre à la puissance –1) :
::''On rencontre cette unité en spectroscopie infrarouge par exemple, l'inverse d'une longueur d'onde s'appelle alors un "nombre d'onde" (cela correspond à un nombre d'oscillations par cm d'espace).''
::<math>\begin{align}1600 \; cm^{-1} & = 1600 \; (c \times m)^{-1} \\
& = 1600 \; (10^{-2} \times m)^{-1} \\
& = 1600 \times (10^{-2})^{-1} \times m^{-1} \\
& = 1600 \times 10^2 \times m^{-1} \\
& = 160000 \; m^{-1}\end{align}</math>

* Convertir <math>150 \; km/h</math> (kilomètre par heure) en <math>m/s</math> (mètre par seconde) :
::''On préfère écrire <math>km.h^{-1}</math>. La puissance –1 ne s'applique qu'à h, bien sûr. Ici il faut se rappeler que 1 heure = 3600 secondes.''
::<math>\begin{align}150 \; km.h^{-1} & = 150 \times 1000 \; m \times (3600 \; s)^{-1} \\
& = 150000 \; m \times 3600^{-1} \; s^{-1} \\
& = \frac{150000}{3600} \; m.s^{-1} \\
& = 41,67 \; m.s^{-1}\end{align}</math>

== Exercices ==
* Convertir <math>0,000001064 \; m</math> en <math>nm</math>.
::''Ne devrait pas poser problème si l'on connaît la valeur du préfixe nano (n) !''
::[[Conversion d'unités/ex1|(solution)]]
* Convertir <math>0,05 \; \mu s^{-1}</math> en <math>s^{-1}</math>.
::''Que vaut le préfixe multiplicatif <math>\mu</math> (micro) ?''
::[[Conversion d'unités/ex2|(solution)]]
* Convertir <math>1,097.10^7 \; m^{-1}</math> en <math>cm^{-1}</math>.
::''Attention à la puissance -1 !''
::[[Conversion d'unités/ex5|(solution)]]
* Convertir <math>3 \; mol/L</math> en <math>kmol/m^3</math>.
::''Ici on doit passer d'un volume exprimé en litre (L) à un volume exprimé en mètre-cube (m<sup>3</sup>).''
::[[Conversion d'unités/ex3|(solution)]]
* Convertir <math>1600 \; mmol^{-2}.L^2.s^{-1}</math> en <math>mol^?.m^?.h^?</math>.
::''On rencontre ce genre d'unité en cinétique chimique pour les constantes de vitesse.''
::[[Conversion d'unités/ex4|(solution)]]

@@ Ligne 15 : / Ligne 15 : @@
 * <math> a^{-n} = \frac{1}{a^n} </math>  ou encore  <math> a^{n} = \frac{1}{a^{-n}} </math>
-Les puissances agissent aussi bien sur les nombres que sur les préfixes multiplicatifs (que l'on peut remplacer par leur valeur en nombre), que sur les unités.
+Les puissances agissent aussi bien sur les nombres que sur les unités et leur préfixe multiplicatif (que l'on peut remplacer par leur valeur en nombre).
 :Exemple : <math>km^2 = (k \times m)^2 = (1000 \times m)^2 = 1000^2 \times m^2</math>

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 == Les puissances ==
 On rappelle que :
-* <math>(a \times b)^n = a^n \times b^n</math>
+* <math> (a \times b)^n = a^n \times b^n </math>
-* <math>(a^m)^n = a^{m \times n}</math>
+* <math> (a^m)^n = a^{m \times n} </math>
-* <math>a^m \times a^n = a^{m+n}</math>
+* <math> a^m \times a^n = a^{m+n} </math>
-* <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math>  ou encore  <math>a^{n} = \frac{1}{a^{-n}}</math>
+* <math> a^{-n} = \frac{1}{a^n} </math>  ou encore  <math> a^{n} = \frac{1}{a^{-n}} </math>
 Les puissances agissent aussi bien sur les nombres que sur les préfixes multiplicatifs (que l'on peut remplacer par leur valeur en nombre), que sur les unités.

Conversions d'unités - Historique des versions

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